Bir sayıyı tam bölen sayılara o sayının
çarpanları diyoruz. Çarpan ve
bölen aynı anlamda kullandığımız kavramlardır.
Örneğin; 12 sayısının çarpanlarını bulalım.
1.12
2.6
3.4
Burada görüldüğü gibi 12 sayısının çarpanları 1,2,3,4,6 ve 12 dir.
Aynı şekilde 12 sayısının
tam bölenleri 1,2,3,4,6,12'dir.
Çarpanlardan bazılarına asal çarpan diyoruz. Hangilerinin asal çarpan olduğunu anlamak için önce asal sayı ne demek onu öğrenmeye çalışalım.
1 ve kendisinden başka hiçbir sayıya bölünmeyen 1'den büyük doğal sayılara
Asal Sayı diyoruz.
Asal Sayılar: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37, ...
Asal Sayılarla ilgili bilinmesi gereken önemli bilgiler
-Asal sayılar kümesi sonsuz elamanlıdır.
-En küçük ve çift olan asal sayı 2'dir.
-Farkları bir olan asal sayılar sadece 2 ve 3'tür.
-1 sayısı kesinlikle asal değildir.
O zaman ilk verdiğimiz örneğe dönelim. 12 saysının bölenlerinin 1,2,3,4,6 ve 12 olduğunu ve bunların aynı zamanda 12 saysının çarpanları olduğunu söyledik.
Asal sayıları öğrendiğimize göre artık
Asal çarpanları da bulabiriz.
Asal Çarpan, bir sayının çarpanlarından asal olanlarına denir. Yani 12 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'tür.
Şimdi öğrendiğimiz ilk kavramları başka bir örnekle pekiştirmeye çalışalım.
Örnek: 30 sayısının çarpanlarını ve asal çarpanlarını bulalım.
ilk önce 30 sayısının bölenlerini sıralayalım.
30'u tam bölen sayılar 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. bu sayılar aynı zamanda 30 sayısının çarpanlarıdır.
Bu sayılardan asal olanlar ise 2, 3 ve 5 olmak üzere 3 tanedir.
Asal Çarpanlarına Ayırma
Bir doğal sayının asal çarpanlarına ulaşmak için bütün çarpanlarını bulmamıza gerek yoktur.
Asal çarpanlarını bulmak için iki yol vardır.
1.Asal Çarpanlarına Ayırma Yöntemi
Örnek:60 sayısının asal çarpanlarına ayrıma yöntemi ile asal çarpanlarını bulalım.
Görüldüğü gibi sayımızın
yanına çizgi çekip, tam bölen en küçük
asal sayıdan başlayarak bölmeye devam ediyoruz. Son olarak 1 sayısına ulaştığımızda işlemimiz tamamlanıyor.
Burada sağ tarafta kalan sayılar bizim asal çarpanlarımız oluyor. Bu örnekte olduğu gibi iki tane veya daha fazla aynı sayıdan gelmesi sonucu değiştirmiyor.
Örnek: 72 sayısının asal çarpanlarını bulalım.
72' i sayısını bölen en küçük asal sayı 2'den başlayarak bölmeye devam ettik.
Artık 2'ye bölünmediğinde bir sonraki asal sayı olan 3 ile bölmeye devam ettik. Nihayetinde sağ tarafta 2 ve 3 ten farklı bir asal çarpan çıkmadı.
2. Çarpan Ağacı Yöntemi
Bu yöntemde verilen sayı yine asal sayılardan yararlanarak ağaç şeması şeklinde çarpanlarına ayrılır. Ayırma işlemi bölünmeye devam eden sayı asal sayı oluncaya kadar devam eder.
Örnek: 24 sayısını çarpan ağacı yöntemiyle çarpanlarına ayırın.
Görüldüğü gibi 24 sayısı bir asalla başka bir sayının çarpımı olacak şekilde yazılarak işleme devam edilir.
Son olarak iki asal sayının çarpımına ulaşıldığında işlem sona erer.
Aralarında Asal Sayılar
İki veya daha fazla sayının 1'den başka ortak böleni yoksa bu sayılara Aralarında Asal Sayılar denir.
Aralarında asal olmak ile asal sayı olmak aynı şeyler değildir. Herhangi bir sayının asal olup olmadığına bakılır fakat birden fazla sayının da aralarında asal olup olmadığına bakılır.
Örneğin 13 sayısı asaldır. Ama 13 sayısı kendi başına aralarında asal sayı olamaz. 13 ile başka bir sayı uygun şartlarda bir araya gelirse aralarında asal sayılar olabilir.
Bu kısma açıklık getirdiğimize göre aralarında asal sayılar konusuna dönelim.
Örnek: 8 ile 15 sayılarının aralarında asal olup olmadıklarını belirleyelim.
8 sayısının bölenleri 1, 2, 4, 8 'dir.
15 sayısının bölenleri 1, 3, 5, 15'dir.
8 ve 15 sayılarının 1'den başka ortak böleni olmadığı için bu sayılar aralarında asal sayılardır.
Örnek: 12 ve 20 sayılarının aralarında asal olup olmadıklarını belirleyelim.
12 sayısının bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 12'dir.
20 sayısının bölenleri 1, 2, 4, 5, 10, 20'dir.
12 ve 20 sayıları 1'den başka 2 ve 4 sayılarına da ortak bölündükleri için
aralarında asal sayı değildirler.
Pozitif Bölenlerin Sayısı, Tam Bölenlerin Sayısı
Bir sayının bölenlerinin(çarpan) sayısını bulmak için daha önceden öğrendiğimiz asal çarpanlarına ayırma metodundan yararlanacağız. Bu kısımla ilgili çokça soru karşımıza çıkmaktadır.
Bu tip soruları daha önce nasıl çözdüğümüzü hatırlayalım.
Örnek: 60 saysıının pozitif bölenlerinin sayısı kaçtır?
Soru bizden 60'a bölünen pozitif kaç tane sayı var bulmamızı istiyor.
60 sayısı (1 . 60), (2 . 30), (3 . 20), (4 . 15), (5 . 12), (6 . 10) sayılarının çarpımlarıyla elde edildiğinden
çarpanları 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 olmak üzere 12 tanedir.
Şimdi asal çarpanlarına ayırarak Pozitif Bölenlerinin Sayısını nasıl kolaylıkla bulacağımızı gösterelim.
Önce verilen sayıyı asal çarpanlarına ayırma yöntemi ile çarpanlarına ayırıyoruz. Daha sonra sağ tarafta olan asal çarpanları üslü ifade olarak yazıyoruz. Son olarak ortaya çıkan üsleri -kaç tane varsa- bir artırıp çarpıyoruz. Bulduğumuz sonuç bize Pozitif Bölenlerin Sayısını veriyor.
Aynı örneği anlattığım şekilde çözelim.
60'ı asal çarpanlarına ayırdık. Gördüğümüz gibi 2,2,3 ve 5 asallarının çarpımı 60 sayısını veriyor. Sonraki adımda bu asalları üslü olarak yazdık. Burda bir tane olan asalların üssü 1 oldu. Son olarak üsleri 1 artırıp çarptığımızda Pozitif Bölenlerin Sayısını bulmuş olduk.
Örnek: 72 sayısının pozitif bölenlerinin sayısını bulunuz.
Her sayının pozitif tam böleni olduğu kadar negatif tam böleni vardır. Örneğin 12 saysısı 3' e tam
bölündüğü gibi -3'e de tam bölünür. Yani pozitif bölenlerinin saysını bulduktan sonra 2 ile çarparsak
Tam Bölenlerin Sayısını bulmuş oluruz. Bununla ilgili de bir örnek yapalım.
Örnek: 98 saysının pozitif bölen sayısını ve tam bölen sayısını bulunuz.
Çarpanlar ve Katlar konusunun ilk kısmı bitmiştir. OBEB ve OKEK'la devam edilecektir. Devamı blogda tamamlandığında yayınlanacaktır.
Aklınıza takılan soruları yorum kısmından yazabilir veya iletişim kısmından mail yoluyla sorabilirsiniz.
Blogda daha fazla aktif olabilmem adına yazıları arkadaşlarınızla paylaşırsanız sevinirim. Sitede konu anlatım bölümleri haricinde, konu kavratıcı çözümlü örnekler ve ödev testleri de yayınlanmaya başlayacaktır. İlginiz için şimdiden teşekkürler, iyi çalışmalar...
